已知函数f(x)=1/3ax^3+bx^2+x+3其中a≠0,（1）当a,b满足什么条件时fx)取得极值（2）已知a>0且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示b的取值范围

（1）由已知得f′（x）=ax2+2bx+1，
令f′（x）=0，得ax2+2bx+1=0，
f（x）要取得极值，方程ax2+2bx+1=0，必须有解，
所以△=4b2-4a＞0，即b2＞a，
此时方程ax2+2bx+1=0的根为
x1=-2b-4b2-4a2a=-b-b2-aa，x2=-2b+4b2-4a2a=-b-+b2-aa，，
所以f′（x）=a（x-x1）（x-x2）
当a＞0时，
所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
当a＜0时，
所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
综上，当a，b满足b2＞a时，f（x）取得极值．
（2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥-ax2-12x，x∈（0，1]恒成立，
所以b≥-(-ax2-12x)max
设g（x）=-ax2-12x，g′（x）=-a2+12x2=a(x2-1a)2x2，
令g′（x）=0得x=1a或x=-1a（舍去），
当a＞1时，0＜1/a＜1，当x∈（0，1/a]时g′（x）＞0，g（x）=-ax/2-1/2x单调增函数；
当x∈（1/a，1]时g′（x）＜0，g（x）=-ax/2-1/2x单调减函数，
所以当x=1/a时，g（x）取得最大，最大值为g（1a）=-a．
所以b≥-a
当0＜a≤1时，1a≥1，
此时g′（x）≥0在区间（0，1]恒成立，
所以g（x）=-ax/2-1/2x在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=-a/2+1/2，
所以b≥-a/2+1/2
综上，当a＞1时，b≥-a；
0＜a≤1时，b≥-a/2+1/2；