如图：在△ABC中 ∠C=60° 以AB为直径的半圆O分别交AC BC于点D E 求证：三角形ODE是等边三角形

连接 OC OD OE
由三角形的外角等于内对角
∠ODA=∠COD+∠DCO
∠OEB=∠COE+∠ECO
而△AOD和△BOE都是等腰三角形
所以
∠ODA=∠OAD
∠OEB=∠OBE
所以
∠OAD+∠OBE
=∠COD+∠DCO+∠COE+∠ECO
=∠DOE+∠C
而对于△ABC
∠OAD+∠OBE+∠C=180°
而∠C=60°
所以∠OAD+∠OBE=120°=∠DOE+∠C
所以∠DOE=60°
且OD = OE
由顶角为60°的等腰三角形为等边三角形得
△ODE为等边三角形

连接OE DE
同一个圆上，所以OE=DE 要证△ODE为等边三角形就只要证明∠DOE=60°就可以
∠C=60° 所以∠A+∠B=120°
OA=OD=OE=OB 都是圆的半径
所以∠ODA=∠A ∠OEB=∠B
∠DOA+∠EOB=180*2 - 2*∠A-2*∠B=120°
所以∠DOE=60°
所以三角形ODE是等边三角形

O为AB中点.OA=OB=OD=OE=R,所以∠OAD=∠ADO,∠OBE=∠BEO,又∠C=60°,所以∠OAD+∠OBE=120°,所以∠ADO+∠BEO=120°,∠BED+∠ADE=240°,所以∠OED+∠ODE=120°.
又因为OD=OE,所以∠OED=∠ODE=60°,所以∠DOE=60°.所以三角形ODE是等边三角形