已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)(1)讨论函数y=f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-2bx+4-ln2,当a=1时,若对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数),f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=x+

2a2
x
-alnx(a∈R)
(1)讨论函数y=f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x2-2bx+4-ln2,当a=1时,若对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数),f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围.

(1)因为f(x)=x+

2a2
x
−alnx(x>0),所以f′(x)=1−
2a2
x2
a
x
x2−ax−2a2
x2
=
(x+a)(x−2a)
x2

①若a=0,f(x)=x,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②若a>0,当x∈(0,2a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2a)上单调递减;当x∈(2a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2a,+∞)上单调递增.
③若a<0,当x∈(0,-a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,-a)上单调递减;当x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上单调递增.
综上:①当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a>0时,f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增.
③当a<0时,f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.
(2)当a=1时,f(x)=x+
2
x
−lnx(x>0)

由(1)知,若a=1,当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增,
所以f(x)min=f(2)=3-ln2.
因为对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,
所以问题等价于对于任意x∈[1,e],f(x)min≥g(x)恒成立,
即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1,e]恒成立,
即2b≥x+
1
x
对于任意x∈[1,e]恒成立,
因为函数y=x+
1
x
的导数y′=1−
1
x2
≥0
在[1,e]上恒成立,
所以函数y=x+
1
x
在[1,e]上单调递增,所以(x+
1
x
)max=e+
1
e

所以2b≥e+
1
e
,所以b
e
2
+
1
2e

故实数b的取值范围为[
e
2
+
1
2e
,+∞
).
答案解析:(1)求出导数f′(x),利用导数与函数单调性的关系解出不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可.
(2)由题意得,对任意的x1,x2∈[1,e](e是自然对数的底数),f(x1)≥g(x2)成立,可转化为当x∈[1,e]时,[f(x)]min≥[g(x)]max
考试点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.
知识点:本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数最值问题.函数恒成立问题常转化为函数最值问题解决.