高三数列问题已知圆O(n): (x^2)+(y^2)=(1/n)^2 与圆C:(X-1)^2+(y^2)=1,设圆O(n)与y轴正半轴交点为Rn,圆O(n)与圆C在x轴上方的交点为Qn,直线RnQn交x轴与点Pn, 当n趋于无穷大时,点Pn无限趋于点P.求定点P的横坐标?
问题描述：
高三数列问题
已知圆O(n): (x^2)+(y^2)=(1/n)^2 与圆C:(X-1)^2+(y^2)=1,设圆O(n)与y轴正半轴交点为Rn,圆O(n)与圆C在x轴上方的交点为Qn,直线RnQn交x轴与点Pn, 当n趋于无穷大时,点Pn无限趋于点P.
求定点P的横坐标?
答
Q(n)：x^2+y^2=(1/n)^2,当x=0时,y=±(1/n),所以点Rn(0,1/n)
联立x^2+y^2=(1/n)^2和(x-1)^2+y^2=1,解得：x=1/(2n²)
代入Q(n)中,得：1/(4n^4)+y^2=1/n^2,解得y=±[√(4n²-1)]/2n²,那么Qn(1/(2n²),[√(4n²-1)]/2n²)
设点Pn的坐标为(P,0),那么(1/n-0)/(0-P)={1/n-[√(4n²-1)]/2n²}/[0-1/(2n²)
整理,得：P=[2n+√(4n²-1)]/n=2+√[4-(1/n)²]
当n→+∞时,1/n→0,所以2+√[4-(1/n)²]→2+√4=4
所以点P的横坐标为4