过抛物线 上一点 作抛物线的切线 过点A且垂直于 的直线交抛物线于另一点B,点C是线段AB的中点,当a变化时,

问题描述:

过抛物线 上一点 作抛物线的切线 过点A且垂直于 的直线交抛物线于另一点B,点C是线段AB的中点,当a变化时,
(1)求点B到x轴的距离的最小值;
(2)点C和点B到x轴的距离能否同时取得最小值?如果能,求出它们取得最小值时a的值;如果不能,说明理由.

由y=x^2得y'=2x过A的切线斜率为k=2a,AB斜率为-1/2a 切线方程y-a^2=2a(x-a),AB方程y-a^2=-1/2a(x-a),代人y=x^2得 x^2+(1/2a)x-1/2-a^2=0由此得点B的横坐标为(-1/2a-a),从而点B的纵坐标为(-1/2a-a)^2,点C的纵坐标为[...