设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn²-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3...

首先,为了避免误解做些标识：
S(n-1)表示前n-1项的和,与Sn-1不同；
S(n-1)*Sn表示两个和的乘积；
t(n-1)表示第n-1项t,k(n-1)同理
下面
删除原来所有递推符号"=>",加点连词让你看懂：
根据已知条件：
(Sn)^2-2Sn-An*Sn+1=0
两边同时加上(An)^2-An*Sn+2An可得：
(Sn)^2+(An)^2+1^2-2Sn-2An*Sn+2An=(An)^2-An*Sn+2An
左边是(a+b+c)^2的展开式,因式分解得：
(Sn-An-1)^2=An(An-Sn+1)+An
右边一部分提取An因子可得：
(Sn-An-1)^2=An-An(Sn-An-1)
右边的An(Sn-An-1)移到左边可得：
(Sn-An-1)(Sn-An-1+An)=An
根据Sn-An=S(n-1)代换可得：
(S(n-1)-1)(Sn-1)=An
同理将右边等量代换可得：
(S(n-1)-1)(Sn-1)=Sn-S(n-1)
根据a-b=(a-1)-(b-1)将右边变形可得：
(S(n-1)-1)(Sn-1)=(Sn-1)-(S(n-1)-1)
设Sn-1=tn,那么S(n-1)-1=t(n-1)
代入上式可得：
t(n-1)*tn=tn-t(n-1)
两边同时除以t(n-1)*tn可得：
1=1/t(n-1)-1/tn
再设1/tn=kn,则1/t(n-1)=k(n-1)
代入上式可得：
1=k(n-1)-kn
显然kn是递减数列,公差为-1,因此：
kn=k1-(n-1)
又因为
a1=1/2
而根据S1=a1,因此：
S1=1/2
而根据Sn-1=tn
t1=S1-1=1/2-1=-1/2
而根据1/tn=kn
k1=1/t1=1/(-1/2)=-2
将k1代入刚才推导出的kn=k1-(n-1)可得：
kn=-2-(n-1)=-n-1
再带入1/tn=kn可得：
tn=-1/(n+1)
再带入Sn-1=tn可得：
Sn=tn+1=1-1/(n+1)
根据An=Sn-S(n-1)可得：
An=Sn-S(n-1)=1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)
(自己可以检验一下)
毕!
如果还看不懂,那就算了,当我白写.