不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对一切x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

问题描述:

不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对一切x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

若m2-2m-3=0,则m=-1或m=3.…(2分)
若m=-1,不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0为4x-1<o不合题意;…(4分)
若m=3,不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0为-1<0对一切x∈R恒成立,所以m=3可取.…(6分)
设f(x)=(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1,
当 m2-2m-3<0且△=[-(m-3)]2+4(m2-2m-3)<0,解得:

1
5
<m<3.…(9分)
1
5
<m<3
时不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对一切x∈R恒成立,
m∈(−
1
5
,3]
.…(12分)
答案解析:要分别考虑二次项系数为0和不为0两种情况,当二次项系数为0时,只要验证是否对一切x∈R成立即可;当二次项系数不为0时,主要用二次函数开口方向和判别式求出m的取值范围.
最后两种情况下求并集即可.
考试点:函数恒成立问题;二次函数的性质.

知识点:本题主要考查二次函数恒成立问题,考虑二次项系数为0的情况容易忽略,所以也是易错题.