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如图，设椭圆y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点与上顶点分别为A、B，以A为圆心，OA为半径的圆与以B为圆心，OB为半径的圆相交于点O、P．（1）若点P在直线y＝32x上，求椭圆的离心率；（2）在（1）的条件下，设M是椭圆上的一动点，且点N（0，1）到椭圆上点的最近距离为3，求椭圆的方程．

分类: 作业答案 • 2022-06-28 23:47:27
问题描述：

如图，设椭圆

y2
a2
+
x2
b2
＝1(a＞b＞0)的右顶点与上顶点分别为A、B，以A为圆心，OA为半径的圆与以B为圆心，OB为半径的圆相交于点O、P．

（1）若点P在直线y＝
 3
2
x上，求椭圆的离心率；
（2）在（1）的条件下，设M是椭圆上的一动点，且点N（0，1）到椭圆上点的最近距离为3，求椭圆的方程．

答

（1）因OP是圆A、圆B的公共弦，
所以OP⊥AB，即kAB•kOP=-1，
所以kAB＝−

2
 3
，又kAB＝−
a
b
，
所以b2＝
3
4
a2，
所以a2−c2＝
3
4
a2⇒e＝
c
a
＝
1
2
；
（2）由（1）有b2＝
3
4
a2，
所以此时所求椭圆方程为
y2
a2
+
4x2
3a2
＝1，
设M（x，y）是椭圆上一点，
则|MN|2=x2+（y-1）2
=
3
4
a2−
3
4
y2+y2−2y+1＝
1
4
(y−4)2−3+
3
4
a2，
其中-a≤y≤a，
1°若0＜a＜4时，则当y=a时，|MN|2有最小值a2-2a+1，
由a2-2a+1=9得a=-2或a=4（都舍去）；
2°若a≥4时，则当y=4时，|MN|2有最小值
3
4
a2−3，
由
3
4
a2−3＝9得a=±4（舍去负值）即a=4；
综上所述，所求椭圆的方程为
y2
16
+
x2
12
＝1．
答案解析：（1）根据OP是圆A、圆B的公共弦，可推断出OP⊥AB，进而可知kAB•kOP=-1，进而求得b和a的关系，进而根据a2−c2＝
3
4
a2求得a和c关系，求得离心率．
（2）把点M代入椭圆方程，进而根据（1）中a和b的关系，表示出|MN|，进而看当a≥4和0＜a＜4，分别求得函数取最小值时，求得a，则b可求，椭圆的方程可得．
考试点：椭圆的简单性质；圆方程的综合应用；椭圆的标准方程．

知识点：本题主要考查了椭圆的简单性质．应熟练掌握椭圆方程中，a，b和c关系，做题时才能游刃有余．

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