已知函数f(x)=ax+x−2x+1(a>1)(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)用反证法证明f(x)=0没有负数根.

问题描述:

已知函数f(x)=ax+

x−2
x+1
(a>1)
(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明f(x)=0没有负数根.

(1)由于函数f(x)=ax+

x−2
x+1
(a>1)=ax+1-
3
x+1

而函数 y=ax(a>1)和函数y=-
3
x+1
 在(-1,+∞)上都为增函数,
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)假设f(x)=0有负数根为x=x0,且x0<0,则有f(x0)=0,故有ax0+1=
3
x0+1
 ①.
由于函数y=ax+1在R上式增函数,且a0+1=2,∴ax0+1<2.
由于函数y=
3
x+1
 在(-1,+∞)上是减函数,当x0∈(-1,0)时,
3
0+1
=3,∴
3
x0+1
>3,
∴①根本不可能成立,故①矛盾.
由于由于函数y=
3
x+1
在(-∞,-1)上是减函数,当x0∈(-∞,-1)时,
3
x0+1
<0,
而,ax0+1>1,∴①根本不可能成立,故①矛盾.
综上可得,①根本不可能成立,故假设不成立,故f(x)=0没有负数根.
答案解析:(1)由于函数f(x)=ax+1-
3
x+1
,而函数 y=ax(a>1)和函数y=-
3
x+1
 在(-1,+∞)上都为增函数,可得函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)假设f(x)=0有负数根为x=x0<0,则有ax0+1=
3
x0+1
①.分当x0∈(-1,0)时、当x0∈(-∞,-1)两种情况,分别根据
3
x0+1
ax0+1 的范围,可得①根本不可能成立,综上可得假设不成立,命题得证.
考试点:反证法与放缩法;函数单调性的判断与证明.
知识点:本题主要考查函数的单调性的判断和证明,用反证法证明不等式,属于中档题.