如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB=2,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;(Ⅱ)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:DE⊥平面PAC.

问题描述:

如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB=

2
,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.

(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:DE⊥平面PAC.

证明:(Ⅰ)证明:(1)方法一:取线段PD的中点M,连接FM,AM.
因为F为PC的中点,所以FM∥CD,且FM=

1
2
CD.
因为四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,
所以EA∥CD,且EA=
1
2
CD.
所以FM∥EA,且FM=EA.
所以四边形AEFM为平行四边形.
所以EF∥AM.         
又AM⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.
方法二:连接CE并延长交DA的延长线于N,连接PN.
因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,
所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE.
又AE=EB,所以△CEB≌△NEA.所以CE=NE.
又F为PC的中点,所以EF∥NP.
又NP⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.        
方法三:取CD的中点Q,连接FQ,EQ.
在矩形ABCD中,E为AB的中点,所以AE=DQ,且AE∥DQ.
所以四边形AEQD为平行四边形,所以EQ∥AD.
又AD⊂平面PAD,EQ⊄平面PAD,所以EQ∥平面PAD.      
因为Q,F分别为CD,CP的中点,所以FQ∥PD.
又PD⊂平面PAD,FQ⊄平面PAD,所以FQ∥平面PAD.
又FQ,EQ⊂平面EQF,FQ∩EQ=Q,所以平面EQF∥平面PAD.
因为EF⊂平面EQF,所以EF∥平面PAD. 
(Ⅱ)在底面矩形ABCD中连接DE,
   AB=
2
,BC=1,E为AB中点
  则tan∠ADE=
2
2
,tan∠BAC=
1
2
=
2
2

∴∠ADE=∠BAC,
∵∠DEA+∠ADE=90°,
∴∠BAC+∠DEA=90°,
∴DE⊥AC,
∵平面PAC⊥平面ABCDB且交线为AC,
∴DE⊥平面PAC.
答案解析:(Ⅰ)法一:取线段PD的中点M,连接FM,AM.根据线面平行的判定定理,只需证明EF∥AM;
法二:连接CE并延长交DA的延长线于N,连接PN,根据线面平行的判定定理,只需证明EF∥NP;
法三:取CD的中点Q,连接FQ,EQ.根据面面平行的性质,只需证明平面EQF∥平面PAD;
(Ⅱ)在底面矩形ABCD中连接DE,因为平面PAC⊥平面ABCD,所以要证明DE⊥平面PAC,只需证明DE⊥AC,可证∠BAC+∠DEA=90°,通过计算可得∠ADE=∠BAC,由此可得到结论.
考试点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
知识点:本题考查线面平行的判定定理以及面面平行、面面垂直的性质定理,考查学生的推理论证能力,考查转化思想的运用.