分段函数求导问题

刚才算错了，
先要判断是否连续，其次判断是否可导
lim(x→0) f(x)=1/2
因此连续
然后看是否可导
f'(x)=lim(x→0) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x→0) {[√(1+x)-1]/x-f(0)}/(x-0)
=lim(x→0) [√(1+x)-1-x/2]/x^2 (0/0)
=lim(x→0) [1/2√(1+x)-1/2]/(2x)
=lim(x→0) [1-√(1+x)]/[4x√(1+x)]
=lim(x→0) [1-√(1+x)]/(4x)
=lim(x→0) (-x/2)/(4x)
=-1/8
因此可导

第一步,先求f(x)在x=0处的极限
=lim (x→0) ((1+x)-1)/(x·(√(1+x)+1) )
=lim 1/(√(1+x)+1)
=1/2
=f(0)
极限与函数值相等,说明f(x)在x=0处连续.
第二步,判断可导性
由于函数f(x)=(√(1+x)-1)/x 是由初等函数构造而成的,因此其左右导数都存在.
其导数的形式为
f'(x)=[(√(1+x)-1)/x]'=[1/(√(1+x)+1)]'= -(1/(2(√(1+x) ) )/(√(1+x)+1)² =(-1/2)·[√(1+x) + 2 + 1/√(1+x) ]
则f'(x) (x→0+) = f'(x) (x→0-) = -2
左右导数都存在且相等,则在该处导数存在.
第三步,再判断二阶导数.
令√(1+x)=t,则f'(x)=f'(1+x-1)=f'(t²-1)=(-1/2)·(t+2+1/t)
则f''(x)=d f'(x) /dx
=[d f'(x)/dt]·[dt/dx]
=[1-1/t²]·[1/(2(√(1+x) )]
=[1-1/(1+x)]·[1/(2(√(1+x) )]
∴当x=0时,可得f''(0)=0
二阶导数存在.
D