已知数列{an},a1=8,an=a1+a2+a3+...+an-1 令bn=1/an 求数列{bn}的各项和S已知数列{an},a1=8,an=a1+a2+a3+...+an-1（n-1为下标） 其中n属于N且n大于等于2,令bn=1/an 求数列{bn}的各项和S

a2=a1=8
S= 3/8 - 1/[2^(n+1)]

0.375

由an=a1+a2+...+an-1,(n>=2)
故an+1=a1+a2+...+an-1+an
下式减去上式得an+1-an=an,即an+1=2an(n>=2)而a2=a1=8,故得数列{an}的通项公式为
当n=1时，an=8,当n>=2时，an=a2x2^(n-2)=8*2^(n-2)=2^(n+1)
故{bn}的通项公式为n=1时b1=1/8,n>=2时,bn=1/(2^(n+1))
故当n>=2时Sn=b1+b2+...+bn=1/8+1/(2^3)+...+1/(2^(n+1))=3/8-1/(2^(n+1))
将n=1带入上式得S1=1/8=b1故n=1时候满足
故Sn为3/8-1/(2^(n+1))

t(n)=a(1)+a(2)+...+a(n).
a(n+1)=t(n)=t(n+1)-t(n),
t(n+1)=2t(n),
{t(n)}是首项为t(1)=a(1)=8,公比为2的等比数列.
t(n)=8*2^(n-1)=2^(n+2)=a(n+1),
a(1)=8,
a(n)=2^(n+1),n=2,3,...
b(1)=1/8,
b(n)=1/2^(n+1),n=2,3...
s(1)=b(1)=1/8.
n>=2时,
s(n)=b(1)+b(2)+...+b(n)=1/8+1/8+1/16+...+1/2^(n+1)
=1/8+(1/8)[1+1/2+...+1/2^(n-2)]
=1/8+(1/8)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)
=1/8+[1-1/2^(n-1)]/4
=3/8 - 1/2^(n+1)

an=a(n-1)+a(n-2)+……+a2+a1
所以a2=a1=8而且当n>1时,
an=S(n-1)
又有an=Sn-S(n-1)=a(n+1)-an
2an=a(n+1)
所以n>1的部分是等比数列,公比2.
综上所述：当n>1时an=a2*2^(n-2)=8*2^(n-2)=2^(n+1)
当n=1时另讨论,a1=1,带入不成立,所以分开写.
bn=1/an
前n项和等于
n=1
S1=1/a1=1/8
n>1时,
Sn=1/8+1/(2^3)+……1/(2^ n+1)
=1/8+1/4 - 1/[2^(n+1)]
=3/8 - 1/[2^(n+1)]
除了n=1,其他都满足这个,n=1,S=1/8

a1=8,
a2=a1=8,
a3=a1+a2=2a1,
a4=a1+a2+a3=4a1,
a5=a1+a2+a3+a4=8a1=2的3次方a1,
a6=a1+a2+a3+a4+a5=16a1=2的4次方a1，
所以an=2的n-2次方a1=2的n+1次方（n>=2）
b1=1/a1=1/8
b2=1/a2=1/8
b3=1/a3=1/16
.......
bn=1/an=1/2的n+1次方
S=b1+b2+b3+....bn=1/8+1/2的3次方+1/2的4次方+....+1/2的n+1次方
=[2的0次方+2的1次方+2的2次方+......+2的（n-1）次方]/2的n+1次方
=（2的（n-1）次方+1）的平方/2的n+3次方