在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且1+cos（π+2A）=2sin2B+C2．（1）求角A的大小；（2）当a=6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．
问题描述：
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且1+cos（π+2A）=2sin2
．B+C 2
（1）求角A的大小；
（2）当a=6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．
答
（1）由已知得：1−cos2A＝2cos2
，∴4sin2A 2
cos2 A 2
=cos2A 2
，∴sinA 2
＝A 2
，∴A＝1 2
．π 3
（2）b2+c2-bc=36，∴bc≤36，故三角形的面积S＝
bcsinA＝1 2
bc≤9
3
4
．
3
当且仅当b=c时等号成立；又A＝
，故此时△ABC为等边三角形．π 3
答案解析：（1）将条件1+cos（π+2A）=2sin2
化简，结合A是三角形的内角，可求角A的大小；B+C 2
（2）先利用余弦定理得bc≤36，又由于S＝
bc，故可求面积的最大值，根据取最大时b=c及（1）的结论可知△ABC的形状．
3
4
考试点：同角三角函数基本关系的运用；三角形的形状判断．
知识点：本题主要考查三角函数与三角形的结合，考查三角形的面积公式即基本不等式的运用，属于基础题．