如图,已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上任意一点,过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为点Q,过点Q作y轴的垂线,垂足为N,线段QN的中点为M,则点M的轨迹方程为______.

问题描述:

如图,已知椭圆

x2
4
+y2=1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上任意一点,过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为点Q,过点Q作y轴的垂线,垂足为N,线段QN的中点为M,则点M的轨迹方程为______.

点F2关于∠F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F1P的延长线上,故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a(椭圆长轴长),
又OQ是△F2F1Q′的中位线,故|OQ|=2,
设M(x,y),则Q(2x,y),
所以有4x2+y2=4,
故答案为

y2
4
+x2=1.
答案解析:点F2关于∠F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F1P的延长线上,故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a(椭圆长轴长),又OQ是△F2F1Q′的中位线,故|OQ|=a,由此可以求点M的轨迹方程.
考试点:圆锥曲线的轨迹问题.
知识点:本题主要应用角分线的性质解决问题,从而转化为利用椭圆的定义,同时解题中利用了代入法求轨迹方程.