设a1,a2,a3,…,an(n∈N*)都是正数,且a1a2a3•…an=1,试用数学归纳法证明:a1+a2+a3+…+an≥n.

问题描述:

设a1,a2,a3,…,an(n∈N*)都是正数,且a1a2a3…an=1,试用数学归纳法证明:a1+a2+a3+…+an≥n.

证明:①当n=1时,不等式成立
②假设当n=k-1时成立,则当n=k时,考虑等式a1a2a3…•ak=1
若a1,a2,a3,…,ak相同,则都为1,不等式得证
若a1,a2,a3,…,ak不全相同,则a1,a2,a3,…,ak的最大数和最小数不是同一个数
不妨令a1为a1,a2,a3,…,ak的最大数,a2为a1,a2,a3,…,ak的最小数.
则∵a1a2a3…•ak=1,∴最大数a1≥1,最小数a2≤1
现将a1a2看成一个数,利用归纳假设,有a1a2+a3+…+ak≥k-1…(1)
由于a1≥1,a2≤1,所以(a1-1)(a2-1)≤0
所以a1a2≤a1+a2-1…(2)
将(2)代入(1),得
(a1+a2-1)+a3+…+ak≥k-1,即a1+a2+a3+…+ak≥k
∴当n=k时,结论正确
综上可知,a1+a2+a3+…+an≥n.
答案解析:先证n=1时,不等式成立,假设当n=k-1时成立,则当n=k时,考虑等式a1a2a3…•ak=1,分类讨论,利用假设,即可得到结论.
考试点:数学归纳法.


知识点:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确运用数学归纳法的证题 步骤是关键.