设a1，a2，a3，…，an（n∈N*）都是正数，且a1a2a3•…an=1，试用数学归纳法证明：a1+a2+a3+…+an≥n．
问题描述：
设a1，a2，a3，…，an（n∈N*）都是正数，且a1a2a3•…an=1，试用数学归纳法证明：a1+a2+a3+…+an≥n．
答
证明：①当n=1时，不等式成立
②假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a1a2a3•…•ak=1
若a1，a2，a3，…，ak相同，则都为1，不等式得证
若a1，a2，a3，…，ak不全相同，则a1，a2，a3，…，ak的最大数和最小数不是同一个数
不妨令a1为a1，a2，a3，…，ak的最大数，a2为a1，a2，a3，…，ak的最小数．
则∵a1a2a3•…•ak=1，∴最大数a1≥1，最小数a2≤1
现将a1a2看成一个数，利用归纳假设，有a1a2+a3+…+ak≥k-1…（1）
由于a1≥1，a2≤1，所以（a1-1）（a2-1）≤0
所以a1a2≤a1+a2-1…（2）
将（2）代入（1），得
（a1+a2-1）+a3+…+ak≥k-1，即a1+a2+a3+…+ak≥k
∴当n=k时，结论正确
综上可知，a1+a2+a3+…+an≥n．