如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，且AC⊥BD，过点P作PE∥BC交AB于点E． （1）已知△APD的面积为1，求△BPC的面积． （2）求证：BE2=BP•DP．
问题描述：
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，且AC⊥BD，过点P作PE∥BC交AB于点E．
（1）已知△APD的面积为1，求△BPC的面积．
（2）求证：BE2=BP•DP．
答
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠CBP，∠DAP=∠BCP，
∴△ADP∽△CBP，
∴BC=2AD，
＝AD BC
，1 2
＝(S△APD S△CPB
)2＝1 2
，1 4
∴S△CPB=4S△APD=4×1=4；
（2）过A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AD∥BC，∠DCB=90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∵BC=2AD
∴AD=MC=BM，
∴AM是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
又EP∥BC，
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，
∴AE=AP，
∴EB=PC，
又AC⊥BD，∠BPC=CPD=90°，
∠DCB=90°，
∴∠BCP=∠PDC，△BCP∽△CPD，
＝PC BP
，DP PC
∴PC2=BP•DP，
∴BE2=BP•DP．