正弦 母题!

(1)在三角形ABC中,若a/COSA=b/COSB=c/COSC,判定三角形ABC形状
(2)在三角形ABC中,a=3倍根号2,COSC=1/3,三角形面积=4倍根号3,求边长b
(3)三角形一边长为14,这边所对的角是60度,另两边之比为8:5,求这个三角形面积?
a/COSA=b/COSB=c/COSC,
所以 a/b = cosA/cosB,b/c=cosB/cosC
根据正弦定理
sinA/sinB = cosA/cosB
sinB/sinC = cosB/cosC
从上面2个式子中的第一个式子,得到
sinAcosB - cosAsinB = 0
即 sin(A-B)=0
因为 A B 是三角形内角,所以 A = B
同理 B = C
因此 A = B = C
三角形为正三角形.
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a=3倍根号2,COSC=1/3,三角形面积=4倍根号3
cosC=1/3
所以 sinC =根号下（1 - 1/9） = 2倍根号2/3
三角形面积 = acsinB/2 = bcsinA/2 = absinC/2
因此 absinC/2 = 4倍根号3
3倍根号2 * b * 2倍根号2/3 /2 = 4倍根号3
b=2倍根号3
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一边长为c=14,这边所对的角是C=60度,另两边之比为a:b=8:5
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
196 = a^2 + b^2 - ab
196 = a^2 + (5a/8)^2 - a*(5a/8)
196 = a^2 * (1 + 25/64 - 5/8)
196 = a^2 * 49/64
a^2 = 256
a = 16
b = 5a/8 = 10
三角形面积 = absinC/2 = 16 * 10 * sin60 /2 = 40倍根号3