是否存在这样一个正整数,当他加上一百时,是一个完全平方数,当它加上129时是另一个完全平方数?若存在,若存在,求出来(说明过程),若不存在,说明理由

问题描述:

是否存在这样一个正整数,当他加上一百时,是一个完全平方数,当它加上129时是另一个完全平方数?若存在,
若存在,求出来(说明过程),若不存在,说明理由

假设存在,设为x
x+100=a²
x+129=b²
b²-a²=29
(b-a)(b+a)=29=1×29
b-a=1
b+a=29
解得:
a=14,b=15
x=14²-100=96

存在
设这个数是a
那么
a+100=k²
a+129=(k+1)²
解的k=14
a=96
这个数是96

设这个数为x
则x+100=a^2
x+129=b^2
相减
b^2-a^2=129-100
(b+a)(b-a)=29
29是质数,只能分解为29*1
显然b+a>b-a
所以b+a=29,b-a=1
相加
2b=30,b=15,a=14
所以x=b^2-129=96
所以存在,它是96