1.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这3个数2.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为6,求这三个数

问题描述:

1.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这3个数
2.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为6,求这三个数

第一问:1 ,3,9 或-1,3,-9
第二问:2,-4,8 或2,2,2
1)分别设这三个数为:a,aq,aq^2
由题意得 a*aq*aq^2=27 即a^3*q^3=27 即aq=3
(3/q)^2+(3)^2+(3q)^2=91 算出q=+3 q=-3
所以 q=3时,a=1 q=-3时,a=-1
这三个数分别为:1,3,9或-1,3,-9
2)分别设这三个数为:a,a+d,a+2d
由题意得 a+a+d+a+2d=6 即a+d=2
设用等比数列排列的这三个数为:b,bq,bq^2
1)假设b=2 则 2+2q+2q^2=6 算出q=-2 q=1
则 当q=-2时,三个数是:2,-4,8 是等差数列,符合题意
当q=1时,三个数是:2,2,2 是等差数列,符合题意
2)假设bq=2 则 2/q+2+2q=6 算出q=1 符合题意
3)假设bq^2=2 则2/q^2+2/q+2=6 算出q=-1/2 q=1
则 当q=-1/2时,三个数是:2,-4,8 是等差数列,符合题意
所以, 这三个数分别为:2,-4,8 或2,2,2
(由于本人能力有限,可能不需要假设这么麻烦吧)

1
设公比为K, 设三个数分别是(a/k), a, ka
那它们的积就是(a/k)* a * ka = a^3 = 27
所以 a = 3
平方和: (3/k)^2+3^2+(k3)^2 = 91
化简:9k^4-82k^2+9 = 0 => k^2 = 9
所以:k=3 或者 k=-3
所以这三个数可能是-1,3,-9 或者1,3,9
2
若公差为n,同样设三个数:a-n,a,a+n
和为6:a-n+a+a+n=6 => a=2
分类讨论:
i)
如果a-n为等比数列中项,那么 (a-n)^2 = a*(a+n)
化简:6n=n^2 (n!=0) 所以 n=6
那这三个数分别是-4,2,8
ii)
如果a为等比中项,那么a^2=(a-n)(a+n)
化简:n^2 = 0 => n=0 不符合,舍去
iii)
如果a+n为等比中项, 那么(a+n)^2=a*(a-n)
化简:n^2=-6n (n!=0) 所以 n=-6
那这三个数分别是 8,2,-4
讨论完毕