求函数Z=X2+Y2-XY+X+Y在区域X≤0,Y≤0,X+Y≥-3上的最值

x^2+y^2-xy
=(x+y)^2-3xy
又xy故Z=(x+y)^2+x+y-3xy>=(x+y)^2+x+y-3(x+y)^2/4
=(x+y)^2/4+(x+y)
令t=x+y -3=则Z=t^2/4+t
=1/4(t^2+4t)
=1/4(t+2)^2-1
显然，当t=-2时 既x+y=-2时
Z取最小值-1
再综合x=y时xy故x=y=-1时
Z取得最小值-1

Z=X2+Y2-XY+X+Y=(X+Y)^2-3XY+(X+Y)
因为X≤0,Y≤0，3XY>=0
所以Z>=(X+Y)^2+(X+Y)=(X+Y)*(X+Y+1)
又因为X+Y≥-3
所以Z>=-3*(1-3)=6
故：最小值为6

①（不等式法）
Z=(x+y)²+（x+y)-3xy≥(x+y)²+（x+y)-3[(x+y)/2]²=1/4(x+y)²+xy=[1/2(x+y)+1]²-1≥-1
当且仅当x=y,1/2(x+y)+1=0
所以x=y=-1
此时Z=-1
②（导数法）
Z=x²+y²-xy+x+y
Z'(x)=2x-y+1
Z'(y)=2y-x+1
两式都等于0时,Z取最小值
此时x=y=-1
Z=1+1-1-1-1=-1