设函数f(x)＝x2−x+nx2+x+1，(x∈R，且x≠n−12，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，记cn=（1-an）（1-bn），则数列{cn}为（ ）A. 是常数列B. 是公比不为1的等比数列C. 是公差不为0的等差数列D. 不是等差数列也不是等比数列
问题描述：
设函数f(x)＝
，(x∈R，且x≠
x2−x+n
x2+x+1
，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，记cn=（1-an）（1-bn），则数列{cn}为（ ）n−1 2
A. 是常数列
B. 是公比不为1的等比数列
C. 是公差不为0的等差数列
D. 不是等差数列也不是等比数列
答
令y=f（x）=
（x∈R，x≠
x2−x+n
x2+x+1
，x∈N*），n−1 2
则y（x2+x+1）=x2-x+n，
整理得：（y-1）x2+（y+1）x+y-n=0，
△=（y+1）2-4（y-1）（y-n）≥0，
解得：
≤y≤3+2n−2
n2+1
3
．3+2n+2
n2+1
3
∴f（x）的最小值为an=
，3+2n−2
n2+1
3
最大值为bn=
，3+2n+2
n2+1
3
∴cn=（1-an）（1-bn）=-
．4 3
∴数列{cn}是常数数列
故选A．
答案解析：先利用判别式法求出函数的值域，从而求出an与bn，代入cn=（1-an）（1-bn），然后判定数列{cn}的规律．
考试点：数列与函数的综合．
知识点：本题主要考查了分式函数的值域，以及数列的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．