设函数f(x)=x2−x+nx2+x+1,(x∈R,且x≠n−12,n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,记cn=(1-an)(1-bn),则数列{cn}为(  ) A.是常数列 B.是公比不为1的等比数列 C.是公差不为0的等差数列 D

问题描述:

设函数f(x)=

x2−x+n
x2+x+1
,(x∈R,且x≠
n−1
2
,n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,记cn=(1-an)(1-bn),则数列{cn}为(  )
A. 是常数列
B. 是公比不为1的等比数列
C. 是公差不为0的等差数列
D. 不是等差数列也不是等比数列

令y=f(x)=

x2−x+n
x2+x+1
(x∈R,x≠
n−1
2
,x∈N*),
则y(x2+x+1)=x2-x+n,
整理得:(y-1)x2+(y+1)x+y-n=0,
△=(y+1)2-4(y-1)(y-n)≥0,
解得:
3+2n−2
n2+1
3
≤y≤
3+2n+2
n2+1
3

∴f(x)的最小值为an=
3+2n−2
n2+1
3

最大值为bn=
3+2n+2
n2+1
3

∴cn=(1-an)(1-bn)=-
4
3

∴数列{cn}是常数数列
故选A.