在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,试确定△ABC的形状.

问题描述:

在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,试确定△ABC的形状.

由三角形的内角和公式可得,2cosAsinB=sinC=sin(A+B)
∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA
∴sinAcosB-sinBcosA=0,
∴sin(A-B)=0,∴A=B
∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab
∴(a+b)2-c2=3ab
即a2+b2-c2=ab
由余弦定理可得cosC=

a2+b2c2
2ab
=
1
2

∵0<C<π,∴C=
π
3
,∴A=B=C=
π
3

故△ABC为等边三角形
答案解析:由已知2cosAsinB=sinC=sin(A+B),结合和差角公式可求得A=B,由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,可得a2+b2-c2=ab,利用余弦定理可得C,从而可判断三角形的形状.
考试点:三角形的形状判断.
知识点:本题考查两角和与差的三角公式及余弦定理解三角形,解题的关键是熟练掌握三角基本公式.