已知椭圆 x24+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．
问题描述：
已知椭圆
+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．x2 4
（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．
答
（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）代入椭圆方程并化简得：5x2+16x+12=0，（2分）解之得x1=-2，x2=-65，∴M(-65，45)．（4分）（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），则y=k(x+2)x24+y2=1化简得：...
答案解析：（1）根据直线AM的斜率为1时，得出直线AM：y=x+2，代入椭圆方程并化简得：5x2+16x+12=0，解得点M的坐标即可；（2）对于是否过x轴上的一定点问题，可先假设存在，设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得P点的坐标，从而解决问题．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点：本题考查直接法求轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．