已知椭圆 x24+y2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点. (1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标; (2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过
问题描述:
已知椭圆
+y2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.x2 4
(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;
(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.
答
(1)直线AM的斜率为1时,直线AM:y=x+2,(1分)
代入椭圆方程并化简得:5x2+16x+12=0,(2分)
解之得x1=-2,x2=-
,∴M(-6 5
,6 5
).(4分)4 5
(2)设直线AM的斜率为k,则AM:y=k(x+2),
则
化简得:(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.(6分)
y=k(x+2)
+y2=1x2 4
∵此方程有一根为-2,∴xM=
,(7分)2-8k2
1+4k2
同理可得xN=
.(8分)2k2-8
k2+4
由(1)知若存在定点,则此点必为P(-
,0).(9分)6 5
∵kMP=
=yM
xM+
6 5
=k(
+2)2-8k2
1+4k2
+2-8k2
1+4k2
6 5
,(11分)5k 4-4k2
同理可计算得kPN=
.(13分)5k 4-4k2
∴直线MN过x轴上的一定点P(-
,0).(16分)6 5