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过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作互相垂直的两弦OA，OB．（1）求AB中点p的轨迹方程；（2）求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程．

分类: 作业答案 • 2022-06-09 19:00:48
问题描述：

过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作互相垂直的两弦OA，OB．
（1）求AB中点p的轨迹方程；
（2）求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程．

答

设A、B两点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），AB中点P坐标为（x0，y0），则x1+x2=2x0y1+y2=2y0y1x1•y2x2=-1，即y1y2=-x1x2y12=2px1y22=2px2（y1y2）2=4p2x1x2=-4p2y1y2y1y2=-4p2y12+y22=2p（x1+x2）（y1+y2）2-2y1y2=2...
答案解析：（1）先设A（x1，y1）、B（x2，y2）及中点P的坐标，根据中点的定义得到三点坐标之间的关系，再由OA⊥OB得到

y1
x1
•
y2
x2
=-1，再结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y1y2、y12+y22的关系消去x1、y1、x2、y2可得到最后答案．
（2）先设M（x，y），然后联立y=kx、y=-
x
k
与抛物线求出两交点坐标，进而得到直线OM的斜率、方程和直线AB的方程，最后联立直线OM和直线AB的方程可得到射影M的轨迹方程．
考试点：抛物线的简单性质．
知识点：本题主要考查直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点内容，每年必考．

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