设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=f'(0)=0,且使得[xy(1+y)+f'(x)y]dx+[f'(x)+x^2y]dy=0为全微分方程求函数f(x)并解该全微分方程

P=xy(1+y)+f'(x)y,Q=f'(x)+x^2y Py=x+2xy+f'(x) Qx=f''(x)+2xy
由Qx= Py得： f''(x)-f'(x)=x
特征方程的根0,1.
因为0是单根，设特解f=x(Ax+B)代入：A=-1/2 B=-1
解得f(x)=C1e^x+C2-x(x/2+1)
由f(0)=f'(0)=0代入解得：C1=1 C2=-1
所以：f(x)=e^x-1-x(x/2+1) f'(x)=e^x-x-1

[xy(1+y)+f'(x)y]dx+[f'(x)+x^2y]dy=0
分组得：y[x+f'(x)]dx+f'(x)dy+(x^2ydy+xy^2dx)=0
注意： f'(x)=e^x-x-1 f'‘(x)=e^x-1=x+f'(x)
上面分组后的式子改写为：[yf''(x)dx+f'(x)dy]+(x^2ydy+xy^2dx)=0
积分得：f'(x)y+x^2y^2/2=C
特(e^x-x-1)y+x^2y^2/2=C

假如是全微分,那么说明左边是dz所以xy(1+y)+f'(x)y=偏z/偏x (1)f'(x)+x^2y=偏z/偏y (2)(1)对y求偏导=偏^2 z/偏x偏y=x(1+y)+xy+f'(x)(2)对x求偏导=偏^2 z/偏x偏y=f''(x)+2xy两者相等可得f''=f'+xf''-f'=x令t=f't'-t=x...