已知一双曲线与椭圆4x2+y2=64有相同的焦点,且该双曲线的实轴长与虚轴长之比为3:3,求该双曲线的方程.

问题描述:

已知一双曲线与椭圆4x2+y2=64有相同的焦点,且该双曲线的实轴长与虚轴长之比为

3
:3,求该双曲线的方程.

4x2+y2=64可化为

x2
16
+
y2
64
=1,
则c2=64-16=48,且焦点在y轴上,
又∵双曲线的实轴长与虚轴长之比为
3
:3,
∴a2:b2=1:3,又∵a2+b2=c2=48,
∴a2=12,b2=36;
故双曲线的方程为
y2
12
x2
36
=1.
答案解析:由椭圆的方程求出c2及焦点在y轴上,再由双曲线的实轴长与虚轴长之比为
3
:3,求a,b,从而求该双曲线的方程.
考试点:双曲线的标准方程.
知识点:本题考查了圆锥曲线的定义及其标准方程,注意三点参数的确定及焦点所在的坐标系,属于基础题.