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设S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142，…，Sn＝1+1n2+1(n+1)2．设S＝S1+S2+…+Sn，则S=______ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

分类: 作业答案 • 2022-06-05 00:23:54
问题描述：

设S1＝1+

1
12
+
1
22
，S2＝1+
1
22
+
1
32
，S3＝1+
1
32
+
1
42
，…，Sn＝1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．
设S＝
 S1
+
 S2
+…+
 Sn
，则S=______ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

答

∵Sn=1+

1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
n2(n+1)2
=
[n(n+1)]2+2n2+2n+1
[n(n+1)]2
=
[n(n+1)+1]2
[n(n+1)]2
，
∴
 Sn
=
n(n+1)+1
n(n+1)
=1+
1
n(n+1)
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴S=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+…+1+
1
n
-
1
n+1

=n+1-
1
n+1

=
(n+1)2−1
n+1
=
n2+2n
n+1
．
故答案为：
n2+2n
n+1
．
答案解析：由Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
n2(n+1)2
=
[n(n+1)]2+2n2+2n+1
[n(n+1)]2
=
[n(n+1)+1]2
[n(n+1)]2
，求
 Sn
，得出一般规律．
考试点：二次根式的化简求值．

知识点：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．

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