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设S1＝1+1/12+1/22，S2＝1+1/22+1/32，S3＝1+1/32+1/42，…，Sn＝1+1/n2+1/(n+1)2．设S＝S1+S2+…+Sn，则S=_ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:01:33

问题描述：

设S1＝1+

1

12

+

1

22

，S2＝1+

1

22

+

1

32

，S3＝1+

1

32

+

1

42

，…，Sn＝1+

1

n2

+

1

(n+1)2

．
设S＝

S1

+

S2

+…+

Sn

，则S=______ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

答

∵S_n=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2

n2(n+1)2

=

[n(n+1)]2+2n2+2n+1

[n(n+1)]2

=

[n(n+1)+1]2

[n(n+1)]2

，
∴

Sn

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴S=1+1-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+…+1+

1

n

-

1

n+1

=n+1-

1

n+1

=

(n+1)2−1

n+1

=

n2+2n

n+1

．
故答案为：

n2+2n

n+1

．