数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a(n+1)=三分之一倍的Sn,n=1,2,3…,求：(1) a2,a3,a4,和{an}的通项公式 (2)a2+a4+a6+…+a2n的值…
问题描述：
数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a(n+1)=三分之一倍的Sn,n=1,2,3…,求：(1) a2,a3,a4,和{an}的通项公式 (2)a2+a4+a6+…+a2n的值…
答
a1=1
a2=1/3S1=1/3a1=1/3
a3=1/3S2=1/3(a1+a2)=1/3(1+1/3)=4/9
a4=1/3S3=1/3(1+1/3+4/9)=16/27
a(n+1)=1/3*Sn①
an=1/3*S(n-1)②
①-②
a(n+1)-an=1/3(Sn-S(n-1) (n>=2)
a(n+1)-an=1/3*an
a(n+1)=4/3an
a(n+1)/an=4/3
因为a2=1/3
所以{an}是首项为1/3,公比为4/3的等比数列.
an=(4/3)^(n-1) (当n=1时对a1也成立.
所以{an}的通项公式为an=(4/3)^(n-1)
(2)a2+a4+a6+…+a2n的值…
偶数项的公比是q=(4/3)^2=16/9.
S(2n)=a2*(1-(16/9)^n)/(1-16/9)=1/3*(1-(4/3)^2n)/(7/9)=3/7*(1-(4/3)^2n)