如图,点A,B,C,D都在⊙O上,CD的度数等于84°,CA是∠OCD的平分线,则∠ABD+∠CAO=_°.
问题描述:
如图,点A,B,C,D都在⊙O上,
的度数等于84°,CA是∠OCD的平分线,则∠ABD+∠CAO=______°.CD
答
∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等,
∴
的度数等于84°,即∠COD=84°;CD
在△COD中,OC=OD(⊙O的半径),
∴∠OCD=∠ODC(等边对等角);
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°,
∴∠OCD=48°;
而CA是∠OCD的平分线,
∴∠OCA=∠ACD,
∴∠OCA=∠ACD=24°;
在△AOC中,OA=OC(⊙O的半径),
∴∠CAO=∠OCA(等边对等角);
∵∠ABD=
∠AOD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),1 2
∠DCA=
∠AOD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),1 2
∴∠ABD=∠DCA,
∴∠ABD+∠CAO=48°;
故答案为:48°.