如图,在⊙O中AB⊥CD,OE⊥BC垂足为E,求证:OE=12AD.
问题描述:
如图,在⊙O中AB⊥CD,OE⊥BC垂足为E,求证:OE=
AD.1 2
答
证明:如图,连接CO并延长交⊙O于F,连接BF、BD,
∵CF是直径,
∴∠CBF=90°,
∵OE⊥BC,
∴OE是△CBF的中位线,
∴OE=
BF,1 2
∵∠CBD与∠CFB所对的弧都是
,BC
∴∠CDB=∠F,
∵AB⊥CD,
∴∠ABD+∠CDB=90°,
又∵∠BCF+∠F=90°,
∴∠ABD=∠BCF,
∴AD=BF,
∴OE=
AD.1 2
答案解析:连接CO并延长交⊙O于F,连接BF、BD,根据直径所对的圆周角是直角可得∠CBF=90°,然后判断出OE是△CBF的中位线,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE=
BF,根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB=∠F,再根据等角的余角相等求出∠ABD=∠BCF,根据相等的圆周角所对的弦相等可得AD=BF,从而得证.1 2
考试点:三角形中位线定理;圆周角定理.
知识点:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,圆周角定理,等角的余角相等的性质,熟记定理并作辅助线构造出直角三角形和以OE为中位线的三角形是解题的关键.