三角形ABC中,角C=90度,AC=BC,点P在射线AB上运动（点P不与点A、B重合）,PE垂直于AC于点E,PF垂直BC于点F,点O为边AB的中点,连接OE,OF.
三角形ABC中,角C=90度,AC=BC,点P在射线AB上运动（点P不与点A、B重合）,PE垂直于AC于点E,PF垂直BC于点F,点O为边AB的中点,连接OE,OF.
(1)若点P在线段AB上时,如图1,判断线段OE与OF的数量关系和位置关系,请直接写出结论,不必说明理由.
（2）若点P在线段AB的延长线上时,如图2,连接PC,
第一,判断线段PC与OE的数量关系,并加以说明.
第二,判断线段AP＼BP与CP三者间的数量关系（用等式表示）,直接写出结论.
（图1、2性质相同,因此只作一图分析）
(1)结论：OE=OF,且OE⊥OF；
方法：连接OC；
由于点E、F分别为过点P所作射线AC、CB上垂线的垂足,且点E、F随点P的运动而运动,那么点E、F的运动速率相等,则EA=FC；
∵AC=BC,∠C=90°,且点O为线段AB的中点；
∴OA=OC,且∠A=∠OCF=45°；
∵OA=OC,∠A=∠CFO,EA=FC（两边及其夹角相等推证全等）；
∴△AOE≌△COF,则OE=OF；
由于△AOE≌△COF,那么∠AOE=∠COF,而∠AOE与∠COF共∠COE,又∠AOE=∠COE+90°,则∠EOF=90°,即有OE⊥OF；
(2)①判断：PC=√2OE；
分析：依题意推知,四边形CEPF为矩形,那么PC=EF；又OE=OF,且OE⊥OF,即△EOF为等腰直角三角形,则EF=√2OE,即有PC=√2OE；
②判断：AP²+BP²=2CP²；
分析：在Rt△PFC中,由勾股定理得
CP²=FP²+CF²
根据题意并结合图形可知：FP=FB=√2/2•BP；
CB=CA=√2/2•AB；
CF=CB+FB=√2/2•(AB+BP)；
AB=AP-BP；
转化：CP²=FP²+CF²
=(√2/2•BP)²+½•(AB+BP)²
=BP²+½•AB²+AB•BP
=BP²+½•(AP-BP)²+(AP-BP)•BP
=½•(AP²+BP²)
故AP²+BP²=2CP².
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