什么叫完全平方数

完全平方数
九章出版社提供
(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方,那麼我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数.例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识.下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数.
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分别平方后,得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数.
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数.
证明 已知=10k+6,证明k为奇数.因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,於是可设m=10n+4或10n+6.则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数.
推论1：如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那麼这个数一定不是完全平方数.
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数.
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1.
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型.
在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数.
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1.
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2.平方后,分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型.
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9.
除了上面关於个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和.例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和.如果再把13的各位数字相加：1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和.下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止.我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等於这个数被9除的余数.
下面以四位数为例来说明这个命题.
设四位数为,则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数.
对於n位数,也可以仿此法予以证明.
关於完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9.
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式,而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外,还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数.
证明 充分性：设b为平方数,则
==(ac)
必要性：若为完全平方数,=,则
性质11：如果质数p能整除a,但不能整除a,则a不是完全平方数.
证明 由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数.
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若