已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.求证:(Ⅰ)直线MF∥平面ABCD;(Ⅱ)平面AFC1⊥平面ACC1A1.

问题描述:

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
求证:

(Ⅰ)直线MF∥平面ABCD;
(Ⅱ)平面AFC1⊥平面ACC1A1

(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.因为F是BB1的中点,
所以,F为C1N的中点,B为CN的中点.又M是线段AC1的中点,
故MF∥AN.又MF不在平面ABCD内,AN⊂平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.
(Ⅱ)连BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1
可知A1A⊥平面ABCD,又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A=A,
AC,A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1
在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,所以四边形DANB为平行四边形,
故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1,又因为NA⊂平面AFC1
∴平面AFC1⊥ACC1A1
答案解析:(1)延长C1F交CB的延长线于点N,由三角形的中位线的性质可得MF∥AN,从而证明MF∥平面ABCD.
(2)由A1A⊥BD,AC⊥BD,可得BD⊥平面ACC1A1,由DANB为平行四边形,故NA∥BD,故NA⊥平面ACC1A1,从而证得平面AFC1⊥ACC1A1
考试点:直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
知识点:本题考查证明线面平行、面面垂直的方法,同时考查了空间想象能力,推理论证的能力,属于中档题.