如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.(1)出发2秒后,求△ABP的周长.(2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?

问题描述:

如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求△ABP的周长.
(2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?

(1)如图1,由∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,
∴AC=4,动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,
∴出发2秒后,则CP=2,
∵∠C=90°,
∴PB=

22+32
=
13

∴△ABP的周长为:AP+PB+AB=2+5+
13
=7+
13

(2)①如图2,若P在边AC上时,BC=CP=3cm,
此时用的时间为3s,△BCP为等腰三角形;
②若P在AB边上时,有三种情况:
i)如图3,若使BP=CB=3cm,此时AP=2cm,P运动的路程为2+4=6cm,
所以用的时间为6s,△BCP为等腰三角形;
ii)如图4,若CP=BC=3cm,过C作斜边AB的高,根据面积法求得高为2.4cm,
作CD⊥AB于点D,
在Rt△PCD中,PD=
PC2CD2
=
322.42
=1.8,
所以BP=2PD=3.6cm,
所以P运动的路程为9-3.6=5.4cm,
则用的时间为5.4s,△BCP为等腰三角形;
ⅲ)如图5,若BP=CP,此时P应该为斜边AB的中点,P运动的路程为4+2.5=6.5cm
则所用的时间为6.5s,△BCP为等腰三角形;
综上所述,当t为3s、5.4s、6s、6.5s时,△BCP为等腰三角形
(3)如图6,当P点在AC上,Q在AB上,则PC=t,BQ=2t-3,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴t+2t-3=3,
∴t=2;
如图7,当P点在AB上,Q在AC上,则AP=t-4,AQ=2t-8,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴t-4+2t-8=6,
∴t=6,
∴当t为2或6秒时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.
答案解析:(1)根据速度为每秒1cm,求出出发2秒后CP的长,然后就知AP的长,利用勾股定理求得PB的长,最后即可求得周长.
(2)因为AB与CB,由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm,所以必须使AC=CB,或CB=AB,所以必须使AC或AB等于3,有两种情况,△BCP为等腰三角形.
(3)分类讨论:当P点在AC上,Q在AB上,则PC=t,BQ=2t-3,t+2t-3=6;当P点在AB上,Q在AC上,则AC=t-4,AQ=2t-8,t-4+2t-8=6.
考试点:等腰三角形的判定与性质.

知识点:此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握,但是此题涉及到了动点,对于初二学生来说是个难点,尤其是第(2)由两种情况,△BCP为等腰三角形,因此给这道题又增加了难度,因此这是一道难题.