数列1/(a+k)前n项和公式

如果是单项
k=n趋向于无穷大,a+k就趋向于无穷大
1/(a+k)趋向于0
如果是和,同样没有极限,即极限也趋向于无穷大
证明：
构造f(x)=ln(a+x)
则f'(x)=1/(a+x)
在[n,n+1]上对f(x)利用拉格朗日中值定理
有f(n+1)-f(n)=f'(x0)(n+1-n)=1/(a+x0)(n＜x0＜n+1)
所以f(n+1)-f(n)＜1/(a+n)
所以1/(a+1)+1/(a+2)+...+1/(a+n)＞f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+...+f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(1)=ln(a+n+1)-ln(a+1)
当n→+∞时,ln(a+n+1)→+∞
所以,1/(a+1)+1/(a+2)+...+1/(a+n)→+∞ 不存在极限
对你的补充,1/(n/a+k)=a/(n+ak)
此时,可令f(x)=ln(n+ax)
可得到,f(n+1)-f(1)＜数列的和＜f(n-1)-f(1)
前者f(n+1)-f(1)=ln(an+n+a)-ln(n+a)=[ln(an+n+a)/(n+a)]
n→+∞时,f(n+1)-f(1)→ln(a+1)
后者f(n-1)-f(1)=ln(an+n-a)-ln(n+a)=[ln(an+n-a)/(n+a)]
n→+∞时,f(n-1)-f(1)→ln(a+1)
所以,这个和的极限是ln(a+1)