已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,若limn→+∞Sn+1Sn=1,则公比q的取值范围是(  )A. q≥1B. 0<q<1C. 0<q≤1D. q>1

问题描述:

已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,若

lim
n→+∞
Sn+1
Sn
=1,则公比q的取值范围是(  )
A. q≥1
B. 0<q<1
C. 0<q≤1
D. q>1

当q=1的情况,Sn+1=(n+1)a1,所以

lim
n→+∞
Sn+1
Sn
n+1
n
=1成立,
当q≠1是的情况,Sn= 
a1(1−qn)
1−q
,所以
lim
n→+∞
Sn+1
Sn
1−qn+1
1−qn

可以看出当q为小于1的分数的时候
lim
n→+∞
Sn+1
Sn
=1
成立,
故答案应选择C.
答案解析:首先分析题目求公比q的取值范围,由有前题条件
lim
n→+∞
Sn+1
Sn
=1
可以联想到把Sn,Sn=1列出关于q的表达式,分类讨论然后求解即可得到答案.
考试点:极限及其运算;等比数列的前n项和.

知识点:此题主要考查极限及其运算,其中涉及到等比数列前n项和的求法,要分类讨论求解.属于综合题目有一定的计算量.