比较loga(a^3+1)与loga(a^2+1)的大小.

(1)a>1时 a^3-a^2=a^2(a-1)>0
=> a^3+1>a^2+1
此时函数单调递增 所以
loga(a^3+1)>loga(a^2+1)
(2)0 => a^3+1 此时函数单调递减 所以
loga(a^3+1)>loga(a^2+1)
综合（1）（2）
loga(a^3+1)>loga(a^2+1)

用㏒a（a³+1）除以㏒a（a²+1），可以得到的是㏒（a²+1）（a³+1）。
因为a²+1≥1，所以在a≠0的时候，a³-a²=a²（a-1）
当a＞1时，a³＞a²，a³+1＞a²+1,㏒(a²+1)(a³+1)＞1
当a=1时，a³＝a²，a³+1＝a²+1,㏒(a²+1)(a³+1)＝1
当a＜1且a≠0时，a³＜a²，a³+1＜a²+1,㏒(a²+1)(a³+1)＜1

首先分析函数y=logax
当0y=logax为减函数
所以
loga(a^3+1)与loga(a^2+1)中
∵0∴(a^3+1)∴loga(a^3+1)当a>1时，
y=logax为增函数
所以
loga(a^3+1)与loga(a^2+1)中
∵(a^3+1)>(a^2+1)
∴loga(a^3+1)>loga(a^2+1)

a>1时 a^3>a^2
loga(a^3+1)>loga(a^2+1)
0loga(a^3+1)>loga(a^2+1)
所以loga(a^3+1)>loga(a^2+1)

分步讨论
0a^3+1-a^2-1=a^2(a-1),a^2>0,a-1故而a^2(a-1)所以loga(a^3+1)>loga(a^2+1)
a>1时,loga（x）是增函数
a^3+1-a^2-1=a^2(a-1),a^2>0,a-1>0
故而a^2(a-1)>0,所以a^3+1>a^2+1
所以loga(a^3+1)>loga(a^2+1)
综上所述loga(a^3+1)>loga(a^2+1)

分类讨论
若a>1,则先忽略a不看，令(a^3+1)-(a^2+1）得出该式>0。所以loga(a^3+1)>loga(a^2+1)
若0loga(a^2+1)
综上所述，loga(a^3+1)>loga(a^2+1)