求幂函数的和函数 有题 帮忙解一下 级数从0到无穷N（N+1）X＾N
问题描述：
求幂函数的和函数 有题 帮忙解一下 级数从0到无穷N（N+1）X＾N
答
x=1时 s=1+2+3+4+...+（n+1）=（n+1）（n+2)/2
其他情况（不考虑x 当0
xs=x+2x^2+3x^3+4x^4+.....+nx^n+(n+1)x^(n+1)
s-xs=1+x+x^2+x^3+....+nx^n-(n+1)x^(n+1)
s(1-x)=(1-x^(n+1))/(1-x)-(n+1)x^(n+1)
s=(1-x^(n+1))/(1-x)^2-(n+1)x^(n+1)/(1-x)
当x>1
xs-s=(n+1)x^(n+1)-(x^(n+1)-1)/(x-1)
s=(n+1)x^(n+1)/(x-1) -(x^(n+1)-1)/(x-1)^2
答
以下级数皆是从一至无穷.
令f(x)=级数n(n+1)x^(n-1),两次积分后的函数是级数x^(n+1),即是1/(1-x)-(1+x),故f(x)=2/(1-x)^3,原式=xf(x)=2x/(1-x)^3.