函数f(x)=x2+x+1x2+1的值域为 ___ .

问题描述:

函数f(x)=

x2+x+1
x2+1
的值域为 ___ .

由函数f(x)=

x2+x+1
x2+1
,可得[f(x)-1]•x2-x+f(x)-1=0 ①.
当 f(x)=1 时,可得x=0,满足条件.
当f(x)-1≠0时,根据方程①必定有解,可得判别式△=1-4[f(x)-1]2≥0,可得 4f2(x)-8f(x)+3≤0,
解得
1
2
≤f(x)≤
3
2
,故有
1
2
≤f(x)≤
3
2
,且f(x)≠1.
综上可得,函数f(x)的值域为 [
1
2
3
2
]

故答案为[
1
2
3
2
].
答案解析:由函数f(x)=
x2+x+1
x2+1
,可得[f(x)-1]•x2-x+f(x)-1=0 ①.当 f(x)=1 时,可得x=0,满足条件.当f(x)-1≠0时,由判别式△=1-4[f(x)-1]2≥0,求得f(x)的范围.综上可得函数f(x)的值域.
考试点:函数的值域.
知识点:本题主要考查用判别式法求函数的值域,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.