设f(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且0≤f(x)≤1,证明:至少有一点c∈[0,1]使f(c)=c
问题描述：
设f(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且0≤f(x)≤1,证明:至少有一点c∈[0,1]使f(c)=c
答
因为0≤f(x)≤1,所以
存在x1∈[0,1],使f(x1)=0;
存在x2∈[0,1],使f(x2)=1;
令g(x)=f(x)-x
则
g(x1)=0-x1=-x1=0
根据中值定理,存在c∈[x1,x2],使得g(c)=f(c)-c=0,即f(c)=c