函数f（x）=x+2ax．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．
问题描述：
函数f（x）=x+
．2a x
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．
答
（1）函数的定义域范围（-∞，0）∪（0，+∞），则f（-x）=-x-2ax=-（x+2ax）=-f（x）．故函数f（x）是奇函数；（2）若a=2，函数在（2，+∞）单调增；证明：若a=2，则f（x）=x+4x，设2＜x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=x...
答案解析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，根据函数单调性的定义即可证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，转化为求函数f（x）的最小值即可，求a的范围．
考试点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
知识点：本题主要考查函数奇偶性，单调性的判断和证明，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质．