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（1）证明：sinx+siny=2sinx+y2cosx−y2（2）三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a，b，c成等差数列，求证：tanA2tanC2≥tan2B2．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 11:37:33
问题描述：

（1）证明：sinx+siny=2sin

x+y
2
cos
x−y
2

（2）三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a，b，c成等差数列，求证：tan
A
2
tan
C
2
≥tan2
B
2
．

答

证明：（1）sinx+siny=sin(x+y2+x−y2)+sin(x+y2−x−y2)=2sinx+y2cosx−y2．（2）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，又由（1）可知2sinA+C2cosA−C2=2sin（A+C）=4sinA+C2cosA+C2，∴co...
答案解析：（1）sinx+siny=sin(

x+y
2
+
x−y
2
)+sin(
x+y
2
−
x−y
2
)，利用两角和差的正弦公式展开即可得出．
（2）由a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB，利用（1）可化为tan
A
2
tan
C
2
=
1
3
．由余弦定理得：cosB=
a2+c2−b2
2ac
=
a2+c2−(
a+c
2
)2
2ac
≥
6ac−2ac
8ac
=
1
2
．可得tan2
B
2
≤
1
3
，即可得出．
考试点：正弦定理；余弦定理．
知识点：本题综合考查了两角和差的正弦公式、等差数列的性质、正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形的内角和定理、诱导公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

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