过椭圆x22+y2＝1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．（1）求k的值；（2）设C（-2，0），求tan∠ACB．

分类: 作业答案 • 2022-05-11 09:31:59

问题描述：

过椭圆

+y2＝1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．
（1）求k的值；
（2）设C（-2，0），求tan∠ACB．

答

（1）由椭圆方程，a=

，b=1，c=1，则点F为（-1，0）．
直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得
（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则
x₀=

x1+x2

2k2

2k2+1

，y₀=k（x₀+1）=

2k2+1

，
由点M在直线x+2y=0上，知-2k²+2k=0，
∵k≠0，
∴k=1．…（6分）
（2）将k=1代入①式，得3x²+4x=0，
不妨设x₁＞x₂，则x₁=0，x₂=-

，…（8分）
记α=∠ACF，β=∠BCF，则
tanα=

x1+2

x1+1

x1+2

，tanβ=-

x2+2

x2+1

x2+2

，
∴α=β，
∴tan∠ACB=tan2α=

2tanα

1−tan2α

．…（12分）

过椭圆x22+y2＝1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上． （1）求k的值； （2）设C（-2，0），求tan∠ACB．