在三角形ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,且A+C≤2B.
问题描述：
在三角形ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,且A+C≤2B.
求证：
1>B≥π/3
2>a+c≤2b
答
1) A+B+C=π 所以A+C=π-B≤2B
所以B≥π/3
2） 由正弦定理可得 a+c≤2b 等价于sinA+sinC≤2sinB
左边和差化积 sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]·cos[(A-C)/2]
A+C≤2B 若B≤π/2 则sin[(A+C)/2]≤sinB
又cos[(A-C)/2]≤1 所以成立
若π/2≤B A+C≤π/2
所以sin[(A+C)/2]≤sin(A+C)=sinB
又cos[(A-C)/2]≤1 所以成立
所以a+c≤2b