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已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且．a2是a1、a4的等比中项，n∈N*． （I）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn记数列{1/Sn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．

分类: 作业答案 • 2022-05-10 19:20:56
问题描述：

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且．a2是a1、a4的等比中项，n∈N*．
（I）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn记数列{

1
Sn
}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．

答

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
由题意得a22＝a1a4，即(a1+d)2＝a1(a1+3d)，
∴（2+d）2=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴an=a1+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
Sn＝na1+

n(n−1)
2
d＝2n+n(n−1)＝n2+n，
∴
1
Sn
＝
1
n2+n
＝
1
n(n+1)
=
1
n
−
1
n+1
，
∴Tn＝
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=(1−
1
2
)+(
1
2
−
1
3
)+…+(
1
n
−
1
n+1
)，
=1−
1
n+1
，
∵n∈N*，∴Tn＜1．

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