若a、b、c是△ABC的三条边长,且方程(c-b)x的平方+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,求证:△ABC是等腰三角形
问题描述:
若a、b、c是△ABC的三条边长,且方程(c-b)x的平方+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,求证:△ABC是等腰三角形
答
证明:∵(c-b)x²+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根
∴⊿=4(b-a)²-4(a-b)(c-b)=0
∴(a-b)²-4(a-b)(c-b)=0
即:(a-b)(a-b-c+b)=0
∴(a-b)(a-c)=0
∴a-b=0或a-c=0
即:a=b或a=c
∵a、b、c是△ABC的三条边长
∴△ABC是等腰三角形
答
b²-4ac=4(b-a)²-4(a-b)(c-b)=0
∴4(a-b)(a-b-c+b)=0
(a-b)(a-c)=0
∴a=b或a=c
∴△ABC是等腰三角形