若a、b、c是△ABC的三条边长,且方程(c-b)x的平方+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,求证:△ABC是等腰三角形

问题描述:

若a、b、c是△ABC的三条边长,且方程(c-b)x的平方+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,求证:△ABC是等腰三角形

证明:∵(c-b)x²+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根
 ∴⊿=4(b-a)²-4(a-b)(c-b)=0
 ∴(a-b)²-4(a-b)(c-b)=0
  即:(a-b)(a-b-c+b)=0
 ∴(a-b)(a-c)=0
 ∴a-b=0或a-c=0
  即:a=b或a=c
 ∵a、b、c是△ABC的三条边长
 ∴△ABC是等腰三角形

b²-4ac=4(b-a)²-4(a-b)(c-b)=0
∴4(a-b)(a-b-c+b)=0
(a-b)(a-c)=0
∴a=b或a=c
∴△ABC是等腰三角形